Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A=30°，OD=20cm．求CD的长．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△OAD中，根据正切的概念知OA=OD÷tan30°=20，AD=OD÷sin30°=40，AB是⊙O的直径，根据直径是半径的2倍得AB=2OA=40，直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，则有AC=AB•cos30°=40=60，从而求得DC=AC-AD=60-40=20．
解答：解法（1）：∵OD⊥AB，∠A=30°，
∴OA=OD÷tan30°=20，AD=2OD=40．
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=40，且∠ACB=90°．
∴AC=AB•cos30°=40=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（2）：过点O作OE⊥AC于点E，
∵OD⊥AB于点O，∠A=30°，
∴AD=2OD=40，AO=OD÷tan30°=20．
∴AE=AO•cos30°=20=30．
∵OE⊥AC于点E，
∴AC=2AE=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（3）：∵OD⊥AB于点O，AO=BO，
∴AD=BD．
∴∠1=∠A=30°．
又∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠2=60°-30°=30°=∠A．
又∵∠AOD=∠C=90°，
∴△AOD≌△BCD．
∴DC=OD=20（cm）．
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解，注意本题的解法有多种．