【题目】如图所示,在中,
,
于点D,BE平分
,且
于点E与CD相交于点F,
于点H,交BE于点G,下列结论:①
;②
;③
④
;其中正确的是___________.
【答案】①②③④
【解析】
先根据AAS证明△ADC≌△FDB,得到AD=DF,∠DAC=∠DFB,从而得出①正确;
在Rt△ADF中,由AD=DF求得∠DFA,根据等腰直角三角形的性质求得∠HDC=
,从而得到∠DFA=∠HDC,由平行线的判定得到④正确;
根据ASA证明△ABE≌△CBE,得到CE=AC,结合①中证明△ADC≌△FDB可得AC=BF,则得出③正确;
由等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理求得∠DFB,由等腰三角形的性质、角平分线的性质和三角形外角性质求得∠DGF=
,从而得到∠DFB=∠DGF,再由等角对等边得到②正确.
∵于点D,
于点E,
∴∠BDF=∠BDA=,∠BAC+∠ABF=∠DAC+∠ACD=
,
∴∠ABF=∠ACD,
在△ADC和△FDB中
,
∴△ADC≌△FDB(AAS),
∴AD=DF,∠DAC=∠DFB,
又∵DF+CF=CD,CD=BD,
∴,故①正确;
∵AD=DF,于点D,
∴∠DAF=∠DFA=,
∵BD=DC,于点D,
于点H,
∴∠HDC=∠HDB=,
又∵∠DFA,
∴∠DFA=∠HDC,
∴,故④正确;
∵BE平分,且
于点E,
∴∠ABE=∠CBE,∠AEB=∠CEB,
在△ABE和△CBE中
,
∴△ABE≌△CBE,
∴AE=CE,
∴CE=AC,
又∵△ADC≌△FDB,
∴BF=AC,
∴,故③正确;
∵,
于点D,
∴∠DBC=,
又∵BE平分,
∴∠DBE=,
∴∠DFB=,
又∵∠HDB=,
∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=+
=
,
∴∠DFB=∠DGF,
∴DG=DF,故②正确.
故答案为:①②③④.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC,四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1+S2+S3+S4等于( )
A.14 B.16 C.18 D.20
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【题目】一直角三角板的直角顶点
在直线
上,作射线
三角板的各边和射线
都处于直线
的上方.
(1)将三角板绕点在平面内旋转,当
平分
时,如图1,如果
,求
的度数;
(2)如图2,将三角板绕
点在平面内任意转动,如果
始终在
内,且
,请问:
和
有怎样的数量关系?
(3)如图2,如果平分
,
是否也平分
?请说明理由.
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【题目】随着社会的发展,通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚.“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况.随机抽取了部分好友进行调查,把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别:A(0~5000步)(说明:“0~5000”表示大于等于0,小于等于5000,下同),B(5001~10000步),C(10001~15000步),D(15000步以上),统计结果如图所示:
请依据统计结果回答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了 位好友.
(2)已知A类好友人数是D类好友人数的5倍.
①请补全条形图;
②扇形图中,“A”对应扇形的圆心角为 度.
③若小陈微信朋友圈共有好友150人,请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步?
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【题目】已知正方形ABCD的边长为6,E、F、P分别是AB、CD、AD上的点(均不与正方形顶点重合)且PE=PF,PE⊥PF.
(1)求证:AE+DF=6
(2)设AE=,五边形EBCFP的面积为
,求
与
的函数关系式,并求出
的取值范围.
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【题目】如图 1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)如图2,固定△ABC,使△DEC 绕点 C 旋转,当点 D 恰好落 在 AB 边上时,
①填空:线段 DE 与 AC 的位置关系是 ;
②设△BDC 的面积为 S1,△AEC 的面积为 S2,求证:S1=S2
(2)当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时,小明猜想(1) 中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE 边上的高,请你证明小明的猜想.
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【题目】已知:中,
,求证:
.下面给出运用反证法证明的四个步骤:①∴
,这与三角形内角和为
矛盾
②因此假设不成立.∴
③假设在中,
④由,得
,即
这四个步骤正确的顺序应是______.
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【题目】已知:点在直线
上,点
都在直线
上(点
在点
的左侧),连接
,
平分
且
(1)如图1,求证:
(2)如图2,点为
上一点,连接
,若
,求
的度数
(3)在(2)的条件下,点在直线
上,连接
,且
,若
,求
的度数(要求:在备用图中画出图形后,再计算)
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BAD=100°,∠BCD=70°,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,求∠B的度数.
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