Question

如图，有一个圆O和两个正六边形T₁，T₂． T₁的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和圆O相切（我们称T₁，T₂分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T₁，T₂的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T₁，T₂的面积比S₁：S₂的值．

Answer 1

分析：（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．

解答：解：（1）连接圆心O和T₁的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T₂相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=

3

：2；

（2）T₁：T₂的边长比是

3

：2，所以S₁：S₂=（a：b）²=3：4．

点评：计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．