Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF．下列结论中正确的个数有（　　）
①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形,旋转的性质

专题：

分析：根据旋转的性质得出∠ABF=∠C，求出∠ABC=∠C=30°，即可判断①；根据三角形外角性质求出∠ADC=∠BAE，根据相似三角形的判定即可判断②；求出∠EAC大于30°，而∠DAE=30°，即可判断③；求出△AFD是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可判断④．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，
∴△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠C=30°，
∴∠FBD=30°+30°=60°，∴①正确；
∵∠ABC=∠DAE=30°，
∴∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，
即∠ADC=∠BAE，
∵∠ABC=∠C，
∴△ABE∽△DCA，∴②正确；
∵∠C=∠ABC=∠DAE=30°，∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠EAC=120°-∠DAE=90°，
∴∠ABC+∠BAD＜90°，
∴∠ADC＜90°，
∴∠DAC＞60°，
∴∠EAC＞30°，
即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；
∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，
∴AF=AE，∠EAC=∠BAF，
∵∠BAC=120°，∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAF=90°，
即△AFD是直角三角形，
∵在△DAE中，∠ADE=∠BAC+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∠ABC=∠C，但是根据已知不能推出∠BAD=∠EAC，
∴∠ADE和∠AED不相等，
∴AD和AE不相等，
即△AFD是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，∴④错误；
故选B．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．