Question

如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x²+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上．
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x=﹣．）

Answer 1

（1）y=x²+x+4
（2）见解析
（3）t=﹣3±2或﹣3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形

解：（1）由于抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点B（0，4），则 c=4；
∵抛物线的对称轴 x=﹣=﹣，
∴b=5a=；
即抛物线的解析式：y=x²+x+4．
（2）∵A（4，0）、B（3，0）
∴OA=4，OB=3，AB==5；
若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，
∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）．
将C（﹣5，3）代入y=x²+x+4中，得：×（﹣5）²+×（﹣5）+4=3，所以点C在抛物线上；
同理可证：点D也在抛物线上．
（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：
，解得
∴直线CD：y=﹣x﹣．
由于MN∥y轴，设 M（t，t²+t+4），则 N（t，﹣t﹣）；
①t＜﹣5或t＞﹣1时，l=MN=（t²+t+4）﹣（﹣t﹣）=t²+t+；
②﹣5＜t＜﹣1时，l=MN=（﹣t﹣）﹣（t²+t+4）=﹣t²﹣t﹣；
若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∥CE，则MN=CE=3，则有：
t²+t+=3，解得：t=﹣3±2；
﹣t²﹣t﹣=3，解得：t=﹣3；
综上，l=
且当t=﹣3±2或﹣3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．