Question

（2013•江东区模拟）如图，圆O的半径为R，正△ABC内接于圆O，将△ABC按逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（　　）
①AD=A′D；②B′E=3A′E；③tan∠ADC′=

3

3

；④R=

3

DE．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据圆内接正三角形和旋转的性质得到∠BAC=∠B′A′C′=60°，∠C′A′O=∠OAB=30°，则∠AA'D=∠A'AD=15°，于是可得到A'D=AD；在Rt△A′DE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DA′=2A′E，DE=

3

A′E，AE=（2+

3

）A′E，再利用“AAS”可证明△AA′E≌△B′BE，则AE=B′E，所以B′E=（2+

3

）A′E；根据30度的正切值可得到tan∠A′DB=

3

3

；在Rt△AA′E中利用勾股定理可得到AA′=

2

（

3

+1）A′E，而AA′=

2

R，则（

3

+1）A′E=R，把DE=

3

A′E代入得到R=（

3

+1）•

3

3

DE=

3+ 3

3

DE．

解答：解：连接A'O，AO，AA′，BB′，如图，
∵△ABC是正角三角形，△ABC按逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′为等边三角形，
∴∠BAC=∠B′A′C′=60°，
而点O为△A′B′C′的内心，
∴∠C′A′O=∠OAB=30°，
又∵∠A'OA=90°，AO=A'O，
∴△A'OA是等腰直角三角形，
∴∠AA'O=∠A'AO=45°，
∴∠AA'D=∠A'AD=15°，
∴A'D=AD，所以①正确；
∴∠A′DE=∠AA'D+∠A'AD=30°，
而∠DA′E=60°，
∴∠A′ED=90°，
∴DA′=2A′E，DE=

3

A′E，
∴AE=AD+DE=DA′+DE=（2+

3

）A′E，
∵AB=A′B′，
∴

AB

=

A′B′

，
∴

AA′

=

BB′

，
∴AA′=BB′，
在△AA′E和△B′BE中，

∠A′AE=∠BB′E ∠A′EA=∠BEB′ AA′=B′B

，
∴△AA′E≌△B′BE（AAS），
∴AE=B′E，
∴B′E=（2+

3

）A′E，所以②错误；
∵∠ADC'=∠A'DB=30°，
∴tan∠A′DB=tan30°=

3

3

，所以③正确；
在Rt△AA′E中，AE=（2+

3

）A′E，
∴AA′²=AE²+A′E²=（8+4

3

）A′E²，
∴AA′=

2

（

3

+1）A′E，
而AA′=

2

R，
∴（

3

+1）A′E=R，
∴R=（

3

+1）•

3

3

DE=

3+ 3

3

DE，所以④错误．
故选B．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．