Question

【题目】如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且 = ，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．
（1）求证：PC=PE；
（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PQ∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，

∴ = ， ，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ，

∴PC=PE；

（2）解：∵PF∥DG，

∴∠PFC=∠FCG，

∵CF平分∠PCG，

∴∠PCF=∠FCG，

∴∠PFC=∠FCG，

∴PF=PC，

∴PF=PE，

∵P是边AC的中点，

∴AP=CP，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵PQ∥CD，

∴∠PEC=∠DCE，

∴∠PCE=∠DCE，

∴∠PCE+∠PCF= （∠PCD+∠PCG）=90°，

∴∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

【解析】（1）根据相似三角形的性质得到 = ， ，等量代换得到 = ，推出 = ，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠PFC=∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF=∠FCG，等量代换得到∠PFC=∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论．
【考点精析】关于本题考查的矩形的判定方法和相似三角形的判定与性质，需要了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．