Question

3．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为6-4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，AE=AC，根据垂直平分线的性质得到AF=DF，根据平行线的判定和性质可得△BDF、△BED是等腰直角三角形，在Rt△BED中，根据勾股定理可得DE的长，进一步得到EF的长，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，
∵AD的垂直平分线交AB于点F，
∴AF=DF，
∴∠ADF=∠EAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE=∠C=90°，
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，
设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2-x，
在Rt△BED中，DE²+BE²=BD²，
∴x²+x²=（2-x）²，
解得x₁=-2-2$\sqrt{2}$（负值舍去），x₂=-2+2$\sqrt{2}$，
∴△DEF的面积为（-2+2$\sqrt{2}$）×（-2+2$\sqrt{2}$）÷2=6-4$\sqrt{2}$．
故答案为：6-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．