Question

13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，∠C=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质证出∠ODB=∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：过O作OF⊥BD于F，如图2所示：
∵∠C=30°，AB=AC，OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=∠C=30°，
∴∠BOD=120°，
在Rt△DFO中，∠FDO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{3}{2}$cm，
，∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cm，
∴BD=2DF=3$\sqrt{3}$cm，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$×BD×OF=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$cm²，
S_扇形BOD=$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3πcm²，
∴S_阴=S_扇形BOD-S_△BOD==（3π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）cm²．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、三角形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由垂径定理和勾股定理求出OF和DF是解决问题（2）的关键．