Question

2．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A=90°，M、N分别是EB、CD的中点．

（1）求证：BE=CD，△AMN是等腰直角三角形；
（2）若把△ADE绕A点旋转到图2的位置，试探究BE与CD的数量关系和位置关系，并给予证明；
（3）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，请判断△AMN的形状，直接写出结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）利用等式的性质直接得到，BE=CD，用中点和BE=CD，先判断出AM=AN即可；
（2）由全等三角形得到∠MAB=∠NAC，再由直角三角形两锐角互余，判断出BE⊥CD；
（2）由（2）的结论BE=CD，∠MAB=∠CAN，再判断出∠MAN=90°，即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD=AE．
∴AC-AD=AB-AE，
∴BE=CD；
∵M、N分别是EB、CD的中点，
∴DN=$\frac{1}{2}$CD，EM=$\frac{1}{2}$BE，
∴AN=AM，
∵∠BAC=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形；
（2）如图，延长BE，CD交于点G，

由旋转得，∠BAM=∠CAD，
∵AE=AD，AB=AC，∴△AMB≌△ADC，
∴BE=CD，∠ABM=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠CAE+∠ACN=90°，
∵∠AFE=∠CFG，
∴∠ACN+∠CAE=90°，
∴∠CGE=90°，
∴BE⊥CD；
（3）△AMN是等腰直角三角形，
由（1）有，AM=AN，∠MAB=∠CAN，
∵∠CAM+∠MAB=∠CAM+∠CAN=∠MAN=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等式的性质，等腰直角三角形的判定，垂直的判定方法，利用两个角互余和相等的角，得出角相等或互余，是解本题的关键．