Question

14．已知关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x+$\frac{1}{4}$k=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当k取最大整数时，求该一元二次方程的解．

Answer 1

分析 （1）根据二次项系数非负结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）由（1）的结论可找出k值，将其代入原方程中利用公式法解一元二次方程，即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x+$\frac{1}{4}$k=0有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=[-（k-1）]^{2}-4k•\frac{1}{4}k＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＜$\frac{1}{2}$且k≠0．
（2）∵k＜$\frac{1}{2}$且k≠0，
∴k取最大整数时k=-1，此时原方程为x²-2x+$\frac{1}{4}$=0，
解得：x₁=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据二次项系数非负结合根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式组；（2）熟练掌握公式法解一元二次方程的应用．