Question

3．如图1，点P、Q是矩形ABCD的对角线BD上不重合的两点，且BP=DQ，点P关于直线AD、AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．
（1）求证：△BFP≌△DHQ
（2）以下说法正确的有①②③④．
①点E、D、H三点共线；②EH∥FG；③若AP⊥BD，则四边形EFGH是矩形；④若四边形EFGH是菱形，则BD=2AP；⑤四边形EFGH不可能是正方形．
（3）如图2，以点E、F、G、H为顶点的四边形恰好为菱形，且AB=8，AD=6，求PQ的长．（直接写出答案，不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）根据对称的性质得到BP=BF，由等腰三角形的性质得到∠PBF=2∠ABP，同理DQ=DH，∠HDB=2∠CDB，然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由对称的性质得到∠EDA=∠PDA，同理∠PDC=∠HDC，由四边形ABCD是矩形，得到∠ADC=90°，于是得到结论；根据全等三角形的性质得到∠PBF=∠HDQ，根据平行线的性质即可得到结论；通过全等三角形的性质得到∠AFB=∠APB=90°，同理∠DHG=90°，于是得到四边形EFGH是矩形，连接AC，由对称的性质得AP=AE=AF，推出四边形ACHE是平行四边形，得到AC=HE，AC∥HE，等量代换得到结论；当③④同时成立时，EFGH为正方形，于是得到⑤错误；
（3）作A作AM⊥BD于点M，根据三角形的面积公式得到AM=4.8，由（2）知，AP=$\frac{1}{2}$BD=5，根据勾股定理得到PM=$\sqrt{A{P}^{2}-A{M}^{2}}$=1.4，设AC与BD相交于点O，由等腰三角形的性质得到OP=2PM=2.8，即可得到结论．

解答 解：（1）∵点P、F关于AB对称，
∴BP=BF，
∴∠PBF=2∠ABP，
同理DQ=DH，∠HDB=2∠CDB，
∵BP=DQ，
∴BF=DH，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠FBD=∠HDB，
在△BFP与△DHQ中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=BF}\\{∠HDB=∠FBD}\\{DQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△BFP≌△DHQ；

（2）①②③④，
理由：∵P、E关于AD对称，
∴∠EDA=∠PDA，同理∠PDC=∠HDC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDH=180°，
∴点E、D、H三点共线；故①正确；
由（1）证得△BFP≌△DHQ，
∴∠PBF=∠HDQ，
∴EH∥FG，
故②正确；
∵点P、F关于AB对称，
∴BP=BF，AP=AF，
在△ABP与△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AF}\\{AB=AB}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ABF，
∴∠AFB=∠APB，
∵AP⊥BD，
∴∠AFB=90°，同理∠DHG=90°，
∵EH∥FG，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，故③正确；
如图1，连接AC，由对称的性质得AP=AE=AF，
∴A为EF的中点，同理C为HG的中点，
∵四边形EFGH是菱形，
∴AE=CH，AE∥CH，
∴四边形ACHE是平行四边形，
∴AC=HE，AC∥HE，
∵AC=BD，∴BD=EF，
∵EF=2AP，∴BD=2AP，故④正确；
当③④同时成立时，EFGH为正方形，故⑤错误；
故答案为：①②③④；

（3）∵AB=8，AD=6，∴BD=10，
如图2，作A作AM⊥BD于点M，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$BD•AM，
∴AM=4.8，
由（2）知，AP=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴PM=$\sqrt{A{P}^{2}-A{M}^{2}}$=1.4，
设AC与BD相交于点O，AO=$\frac{1}{2}$BD=AP，
∴△OAP为等腰三角形，M为OP中点，
∴OP=2PM=2.8，
∵BP=DQ，
∴OQ=OP=2.8，
∴PQ=5.6．

点评 本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．