Question

19．如图，正方形ABCD的边长为6$\sqrt{2}$，点E是边CD的中点，点F在边BC上，AE、AF分别与对角线BD交于点G、H，点M、N分别是线段GH、EF的中点，若∠EAF=45°，则线段MN的长为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，作MK⊥BC于K，NW⊥BC于W，NP⊥MK于P．首先证明EF=BF+DE，设BF=x，在Rt△EFC中，利用勾股定理，构建方程求出x，再利用平行线分线段成比例定理，求出DG、BH、GH、BK、KM，在Rt△PMN中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，作MK⊥BC于K，NW⊥BC于W，NP⊥MK于P．

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°，
∴∠TAB+∠BAF=45°，
∴∠FAT=∠FAE，∵AF=AF，AE=AT，
∴△AFT≌△AFE，
∴FT=EF，
∴TB+BF=DE+BF=EF，设BF=x，则EF=3$\sqrt{2}$+x，
在Rt△EFC中，（3$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$-x）²=（x+3$\sqrt{2}$）²，
解得x=2$\sqrt{2}$，
∵BD=$\sqrt{2}$AD=12，
∵DE∥AB，BF∥AD，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{DG}{BG}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BH}{DH}$=$\frac{BF}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴DG=$\frac{1}{3}$BD=4，BH=$\frac{1}{4}$BD=3，EF=BD-BF-DG=5，
∵MH=MG，
∴BM=5.5，DM=6.5，
∵MK∥CD，
∴$\frac{BK}{BC}$=$\frac{BM}{BD}$=$\frac{MK}{CD}$，
∴$\frac{BK}{6\sqrt{2}}$=$\frac{5.5}{12}$=$\frac{MK}{6\sqrt{2}}$，
∴BK=MK=$\frac{11\sqrt{2}}{4}$，
∵四边形PNWK是矩形，
易知NW=PK=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，KW=PN=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，PM=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$
在Rt△PMN中，MN=$\sqrt{M{P}^{2}+P{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{4}）^{2}+（\frac{5\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
故答案为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．