Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E是AD边上一点，BE=BC．
（1）求证：EC平分∠BED．
（2）过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接FD，与EC交于点O，求FD•EC的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，推出AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，由BE=BC，推出∠BEC=∠BCE，推出∠DEC=∠BEC，即可解决问题．
（2）在Rt△ABE中，可得AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，推出DE=1，由Rt△ECD≌Rt△ECF，推出ED=EC=1，由CF=CD=3，推出EC垂直平分线段DF，根据S_{四边形EFCD}=2•S_△EDC=$\frac{1}{2}$•EC•DF，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
即EC平分∠BED．

（2）解：∵CF⊥EB，CD⊥ED，EC平分∠BED，
∴CF=CD=3，
在Rt△ABE中，∵AB=3，BE=BC=5，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∴DE=1，
在Rt△ECD和Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECD≌Rt△ECF，
∴ED=EF=1，∵CF=CD=3，
∴EC垂直平分线段DF，
∴S_{四边形EFCD}=2•S_△EDC=$\frac{1}{2}$•EC•DF，
∴$\frac{1}{2}$•EC•DF=2×$\frac{1}{2}$×3×1=3，
∴EC•DF=6．

点评 本题考查矩形的性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，记住当四边形对角线垂直时，面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．