Question

【题目】如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直接写出当x＞0时，的解集．

（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

Answer 1

【答案】（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.

【解析】

（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；

（2）根据图像解答即可；

（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.

解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；

（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；

∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

设直线AB′的解析式为y＝px+q，

∴，

解得，

∴直线AB′的解析式为，

令y＝0，得，

解得x＝，

∴点P的坐标为（，0）．