Question

如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC边上一动点，过点E作直线EF∥AD，分别交射线CA和BA于点F和G，CH∥AB，交直线EF于点H．
（1）图中有哪些等腰三角形？请说明理由；
（2）在什么条件下，BG=CF？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质，得出∠1=∠3=∠AGF，∠2=∠F，∠3=∠H，然后根据等角对等边即可证得△AGF和△CHF是等腰三角形．
（2）由CF=HC，BG=CF，得出BG=HC，然后证得△BEG≌△CEH，得出BE=CE，所以当E是BC的中点时，BG=CF．

解答：解：（1）图中的等腰三角形有：△AGF和△CHF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵EF∥AD，
∴∠1=∠3=∠AGF，∠2=∠F，
∴∠AGF=∠F，
∴△AGF是等腰三角形，
∵CH∥AB，
∴∠3=∠H，
∴∠H=∠F，
∴CF=HC，
∴△CHF是等腰三角形，
故图中的等腰三角形有：△AGF和△CHF，
（2）∵CF=HC，BG=CF，
∴BG=HC，
在△BEG和△CEH中，

∠3=∠H ∠BEG=∠CEH BG=CH

，
∴△BEG≌△CEH（AAS），
∴BE=CE，
∴当E是BC的中点时，BG=CF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握性质定理是关键．