Question

已知线段AB是⊙O的弦，点P是优弧

AB

上一个动点（P不与A、B重合），直线l是∠APB的平分线．
（1）画图并证明：当点P在优弧

AB

上运动时，∠APB的平分线l过定点Q；
（2）当点P在优弧

AB

上运动时，△APQ的面积能否取得最大值，如果能，请用尺规作图确定点P在⊙O上的位置；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠APQ=∠BPQ，根据圆周角定理得到弧AQ=弧BQ，即Q为弧AB的中点，为定点；
（2）由于AQ为定值，所以当P到AQ的距离最大时，△APQ的面积取得最大值，则过圆心O作AQ的垂线交优弧AB于P点．

解答：证明：（1）如图，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴弧AQ=弧BQ，
∴Q为弧AB的中点，
即∠APB的平分线过定点Q．

（2）能取得最大值．理由如下：
∵AQ为定值，
∴当P到AQ的距离最大时，△APQ的面积取得最大值，
所以过圆心O作AQ的垂线交优弧AB于P点．如图．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了圆周角定理以及过一点作直线的垂线的方法．