Question

二次函数y=4x²-4ax+a²-2a+2（0≤x≤2）的最小值为3，则a的值为

a=1-

2

或5+

10

．

Answer 1

分析：先将抛物线的解析式化为顶点式为y=4（x-

1

2

a）²-2a+2，分三种情况考虑：对称轴在x=0的左边，对称轴在0到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=0的左边和对称轴在x=2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x的值，然后把此时的x的值与y=3代入二次函数解析式即可求出a的值；当对称轴在0到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于3，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意a的值．

解答：解：∵y=4x²-4ax+a²-2a+2，
∴y=4（x-

1

2

a）²-2a+2，
分三种情况：
当

1

2

a＜0即a＜0时，二次函数y=4x²-4ax+a²-2a+2在0≤x≤2上为增函数，
所以当x=0时，y有最小值为3，把（0，3）代入y=4x²-4ax+a²-2a+2中解得：a=1-

2

，1+

2

（舍去）；
当

1

2

a＞2即a＞4时，二次函数y=4x²-4ax+a²-2a+2在0≤x≤2上为减函数，
所以当x=2时，y有最小值为3，把（2，3）代入y=4x²-4ax+a²-2a+2中解得：a=5+

10

，5-

10

舍去；
当0≤

1

2

a≤2即0≤a≤4时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为

16(a 2-2a+2)-16a2

16

=3，解得：a=-

1

2

，舍去．
综上，a的值为a=1-

2

，a=5+

10

．
故答案为：1-

2

，5+

10

．

点评：本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．