Question

1．如图1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，AB=AD=3，BC=9，点P、Q同时从点B出发，沿射线BC向右匀速运动，已知点Q移动速度是点P速度的3倍，以PQ为一边在BC上方作正方形PQMN，设点P移动距离为x（x＞0），当点P与点C重合时，P、Q同时停止运动．

（1）正方形PQMN的边长是2x（用含x的代数式表示），tan∠BCD=$\frac{1}{2}$．
（2）当点M移动至线段CD上，试求此时x的值．
（3）若正方形PQMN与梯形ABCD的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据点Q移动速度是点P速度的3倍及P移动的距离为x，得到BQ=3x，由BQ-BP表示出PQ，即为正方形边长，过D作DE垂直于BC，求出DE与CE的长，利用锐角三角函数定义求出tan∠BCD的值即可；
（2）如图1所示，当M在边CD上时，表示出MQ与CQ，根据tan∠BCD的值列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）分四种情况考虑：当0＜x≤$\frac{9}{7}$时，如图1所示；当$\frac{9}{7}$＜x≤1.5时，如图2所示；当1.5＜x＜3时，如图3所示；当3≤x＜9时，如图4所示，分别表示出y与x的关系式即可．

解答 解：（1）根据题意得：BQ=3BP=3x，
∴PQ=BQ-BP=3x-x=2x，即正方形PQMN的边长是2x；
过D作DE⊥BC，
在Rt△DEC中，DE=AB=3，CE=BC-BE=9-3=6，
∴tan∠BCD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：2x；$\frac{1}{2}$；
（2）如图1所示，当M在边CD上时，可得MQ=PQ=2x，BQ=3x，BP=x，CQ=BC-BQ=9-3x，

在Rt△MQC中，tan∠BCD=$\frac{MQ}{CQ}$=$\frac{2x}{9-3x}$=$\frac{1}{2}$，
解得：x=$\frac{9}{7}$；
（3）当0＜x≤$\frac{9}{7}$时，如图1所示，正方形PQMN与梯形ABCD的重叠部分面积为y=（2x）²=4x²；
当$\frac{9}{7}$＜x≤1.5时，如图2所示，正方形PQMN与梯形ABCD的重叠部分为五边形EFQPN，过E作EM⊥BC，

由题意得：BP=x，EM=PQ=2x，CM=2EM=4x，则BM=9-4x，
∴PM=NE=BM-BP=9-4x-x=9-5x，
∵tan∠MEF=tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴EM=2x-（9-5x）=7x-9，FM=$\frac{1}{2}$（7x-9），
此时重合面积为y=（2x）²-$\frac{1}{4}$（7x-9）²=-$\frac{33}{4}$x²+$\frac{63}{2}$x-$\frac{81}{4}$；
当1.5＜x＜3时，如图3所示，过D作DE⊥BC，

可得DE=FP=3，BP=x，PE=FD=3-x，PQ=2x，
∵tan∠GCD=$\frac{1}{2}$，
∴EQ=PQ-PE=2x-（3-x）=3x-3，CQ=9-3x，DG=$\frac{1}{2}$（9-3x），
此时重叠部分面积y=3（3-x）+$\frac{1}{2}$（3x-3）[$\frac{1}{2}$（9-3x）+3]=-$\frac{9}{4}$x²+$\frac{21}{2}$x-$\frac{45}{4}$；
当3≤x＜9时，如图4所示，

由题意得：BP=x，BQ=3x，PQ=2x，BC=9，
∴PC=BC-BP=9-x，
∵tan∠ECP=$\frac{1}{2}$，
∴EP=$\frac{1}{2}$（9-x），
此时重叠部分面积y=$\frac{1}{4}$（9-x）²=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{9}{2}$x+$\frac{81}{4}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，正方形，梯形，三角形面积的计算，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．