Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF为直角三角形时，CF的长为4或2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=6，可计算出CF；
②当点F落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEF为正方形，根据勾股定理计算出CF．

解答 解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴EB=EF，AB=AF=6，
∴CF=10-6=4；
②当点F落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=6，CE=8-6=2，
∴CF=2$\sqrt{10}$．
综上所述，CF的长为4或2$\sqrt{10}$．
故答案为：4或2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．