Question

已知：如图，在⊙O中，AB是直径，CD⊥AB于M，交⊙O于E，连接CB交⊙O于F，求证：EF•DF=BF•CF．

Answer 1

分析：根据垂径定理可以发现等弧，根据等弧所对的圆周角相等可以证明角相等．即∠BFD=∠BDC．再加上公共角，则可以发现△BDF∽△BCD；根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可以得到∠EFC=∠BDC，再加上公共角，可以证明△BDC∽△EFC．从而借助中间比

BD

CD

，证明结论．

解答：证明：∵AB是⊙O的直径，DC⊥AB，
∴弧BD=弧BE，∠BDC=∠BFD．
∵∠DBF=∠CBD，
∴△BDF∽△BCD．
∴

BF

DF

=

BD

DC

．
∵∠EFC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△EFC．
∴

BD

DC

=

EF

FC

∴

BF

DF

=

EF

FC

．
∴EF•DF=BF•CF．

点评：能够充分运用垂径定理和圆周角定理以及圆内接四边形的性质发现圆中的角相等；掌握相似三角形的判定和性质．能够借助中间比证明一个比例式．