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    （2013•漳州）（1）问题探究
    数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．
    如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=
    12
    BC，求证∠BAC=90°．
    同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：
    思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
    思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…
    思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…
    思路四…
    请选择一种方法写出完整的证明过程；
    （2）结论应用
    李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：
    ①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙0的切线；
    ②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．
    分析：（1）根据条件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性质就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理就可以求出结论；
    （2）①连接OD，CD，由圆的性质就可以得出AO=OD=OC=a，再由条件就可以得出△ODC是等边三角形，由外角与内角的关系就可以求出∠BDC=30°，从而得出∠ODB=90°而得出结论；
    ②运用（1）的结论可以得出∠ADB=∠AEC=90°，从而有△ADB∽△AEC，由相似的性质可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比平方，最后由锐角三角形函数值就可以求出结论．
    解答：解：（1）问题研究，∵M为BC的中点，
    ∴BM=CM=
    1
    2
    BC．
    ∵MA=
    1
    2
    BC，
    ∴BM=CM=MA，
    ∴∠1=∠B，∠2=∠C．
    ∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°，
    ∴2∠1+2∠2=180°，
    ∴∠1+∠2=90°，
    即∠BAC=90°；

    （2）①连接OD，CD，
    ∴AO=OD=OC=a，
    ∴∠BOD=2∠A=60°，
    ∴△ODC是等边三角形，
    ∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°．
    ∵OB=2a，
    ∴BC=a，
    ∴BC=DC，
    ∴∠B=∠BDC，
    ∴2∠BDC=60°，
    ∴∠BDC=30°，
    ∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°，
    ∴直线BD是⊙0的切线
    ②∵M为BC的中点，BD⊥AC于D，
    ∴DM=
    1
    2
    BC．
    ∵EM=DM，
    ∴EM=
    1
    2
    BC，
    ∴∠BEC=90°．
    ∴∠ADB=∠AEC=90°．
    ∵∠A=∠A，
    ∴△ADB∽△AEC，
    ∴
    AD
    AE
    =
    AB
    AC
    ，
    ∴
    AD
    AB
    =
    AE
    AC
    ．
    ∵∠A=∠A，
    ∴△ADE∽△ABC，
    ∴
    S△ADE
    S△ABC
    =（
    AD
    AB
    ）2．
    ∵cos∠A=
    AD
    AB
    ，且∠A=60°，
    ∴
    AD
    AB
    =
    1
    2
    ，
    ∴
    S△ADE
    S△ABC
    =
    1
    4
    ．
    ∴△ADE与△ABC面积的比值为
    1
    4
    ．
    点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，切线的判定方法的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质结合三角函数值求解是难点．
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