Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥AB，AD=2，AB+CD=4，点E为BC的中点．

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）若AE⊥BC，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）S=4；（2）.

【解析】

（1）作辅助线，构建三角形全等，将四边形ABCD的面积转化为三角形DAF的面积来解答；（2）连接AC，设CD=x，根据勾股定理列方程可解答．

解：（1）如图1，连接DE并延长，交AB的延长线于F，

∵DC∥AB，

∴∠C=∠EBF，

∵CE=BE，∠DEC=∠FEB，

∴△DCE≌△FBE（ASA），

∴BF=DC，

∵AB+CD=4，

∴AB+BF=4=BF，

∴S四边形ABCD=S四边形ABED+S△DCE=S四边形ABED+S△EBF=S△DAF=ADAF=×2×4=4；

（2）如图2，连接AC，

∵CE=BE，AE⊥BC，

∴AC=AB，

设CD=x，则AB=AC=4-x，

Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AD2=AC2，

x2+22=（4-x）2，

解得：，

∴．