Question

6．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，
OA=1，OB=$\sqrt{3}$，以AB为边在第二象限作□ABCD，∠DAB=75°．
（1）若BC=$\sqrt{2}$AB，求点D的坐标；
（2）在（1）的情况下，若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D点，求证：点C不在反比例函数y=$\frac{k}{x}$ 的图象上；
（3）问是否存在m，使得BC=mAB，且C、D两点均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出AB=2，∠OAB=60°，得出∠DAE=45°，即可求出DE=AE，进而求出OE，即可得出结论；
（2）先确定出反比例函数解析式，再求出点C的坐标，即可判断点C不在反比例函数图象上；
（3）假设存在，同（1）的方法求出点D的坐标，同（2）的方法求出点C的坐标，进而建立方程，得出的方程无解，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点D作DE⊥OA于E，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=2，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，
∵∠DAB=75°，
∴∠DAE=180°-∠DAB-∠OAB=45°，
∵BC=$\sqrt{2}$AB，
∴BC=$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ADE中，DE=AE=2，
∴OE=OA+AE=3，
∴D（-3，2）；

（2）如图2，由（1）知，D（-3，2），
∵在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D点，
∴k=-3×2=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$，
过点C作CF⊥OB，
由（1）知，∠OAB=60°，
∴∠OBA=90°-∠OAB=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD=2$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=180°-∠DAB=105°，
∴∠CBF=180°-∠OBA-∠ABC=45°，
在Rt△BCF中，BC=2$\sqrt{2}$，
∴CF=BF=2，
∴OF=OB+BF=2+$\sqrt{3}$，
∴C（-2，2+$\sqrt{3}$），
∴-2×（2+$\sqrt{3}$）≠-6，
∴点C不在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图象上；

（3）假设存在，同（1）的方法得，D（-$\sqrt{2}$m-1，$\sqrt{2}$m），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+1）
同（2）的方法得，点C（-$\sqrt{2}$m，$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$），
∴-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+1）=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$），
∵BC=mAB，
∴m≠0，
∴-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+1）=-$\sqrt{2}$m（$\sqrt{2}$m+$\sqrt{3}$）不成立，
即：不存在m，使得BC=mAB，且C、D两点均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，待定系数法，解（1）的关键是作出辅助线，解（2）的关键是确定出点C的坐标，解（3）的关键是用（1）（2）的方法得出点D，C的坐标．