Question

某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．
（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

Answer 1

分析：（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出y与x之间的函数关系式；
（2）把y=30代入累计利润y=

1

2

x²-2x的函数关系式里，求得月份；
（3）分别把x=7，x=8，代入函数解析=

1

2

x²-2x，再把总利润相减就可得出．

解答：解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，-2），
故可设其函数关系式为：y=a（x-2）²-2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），
于是得：
a（0-2）²-2=0，
解得a=

1

2

．
∴所求函数关系式为：y=

1

2

（x-2）²-2，即y=

1

2

x²-2x．
答：累积利润y与时间x之间的函数关系式为：y=

1

2

x²-2x；

（2）把y=30代入y=

1

2

（x-2）²-2，
得

1

2

（x-2）²-2=30．
解得x₁=10，x₂=-6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．

（3）把x=7代入关系式，
得y=

1

2

×7²-2×7=10.5，
把x=8代入关系式，
得y=

1

2

×8²-2×8=16，
16-10.5=5.5，
答：第8个月公司所获利是5.5万元．

点评：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．