Question

【题目】如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC边交于点E，点P是线段AE上一定点（其中PA＞PE），过点P作AE的垂线与AD边交于点F（不与D重合）．一直角三角形的直角顶点落在P点处，两直角边分别交AB边，AD边于点M，N．

（1）求证：△PAM≌△PFN；

（2）若PA＝3，求AM+AN的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3

【解析】

（1）根据题意证明AP=PF,再根据∠MPN＝90°，∠APF＝90°证明∠MPA＝∠FPN即可；

（2）用勾股定理证明AF，再通过全等三角形证明AM＝NF即可.

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD＝90°

∵∠BAD的平分线AE与BC边交于点E，

∴∠BAE＝∠EAD＝45°

∵PF⊥AP

∴∠PAF＝∠PFA＝45°

∴AP＝PF

∵∠MPN＝90°，∠APF＝90°

∴∠MPN﹣∠APN＝∠APF﹣∠APN

∴∠MPA＝∠FPN，且AP＝PF，∠MAP＝∠PFA＝45°

∴△PAM≌△PFN（ASA）

（2）∵PA＝3

∴PA＝PF＝3，且∠APF＝90°

∴AF＝＝3

∵△PAM≌△PFN；

∴AM＝NF

∴AM+AN＝AN+NF＝AF＝3