Question

19．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4的图象与x轴交于B，C两点（B在C的左侧），与y轴交于点A．
（1）求出点A，B，C的坐标．
（2）在抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴上有另一动点Q，若以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标．
（3）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过△ABC的外心，求出平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0和y=0代入可求得点A，B，C的坐标；
（2）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，分三种情况：
当P在x轴的上方时，即为抛物线的顶点P（3，$\frac{25}{4}$）；
当P在x轴的下方时，有两种情况：①当P在抛物线对称轴的左侧时，如图2，②当P在抛物线对称轴的右侧时，如图3，根据PQ=BC=10，求出横坐标后再求纵坐标；
（3）通过证明△AOB∽△COA，得△ABC是直角三角形，得△ABC的外心E的坐标为（3，0），则抛物线向右平移5个单位，由此写出平移后的抛物线的解析式．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，
∴与y轴交点A（0，4），
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得：x=-2或8，
∴B（-2，0），C（8，0）；
（2）y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$，
当P在x轴的上方时，即为抛物线的顶点P（3，$\frac{25}{4}$）时，可以构成平行四边形BPCQ，如图1，
当P在x轴的下方时，
∵BC=2+8=10，
若四边形BPCQ为平行四边形，则BC∥PQ，BC=PQ=10，
有两种情况：①当P在抛物线对称轴的左侧时，如图2，
∴点P的横坐标为-7，
当x=-7时，y=-$\frac{1}{4}$×（-7）²+$\frac{3}{2}$×（-7）+4=-$\frac{75}{4}$，
此时P（-7，-$\frac{75}{4}$）；
②当P在抛物线对称轴的右侧时，如图3，
∴点P的横坐标为13，
当x=13时，y=-$\frac{1}{4}$×13²+$\frac{3}{2}$×13+4=-$\frac{75}{4}$，
此时P（13，-$\frac{75}{4}$）；
综上所述，点P的坐标为P（3，$\frac{25}{4}$）或（-7，-$\frac{75}{4}$）或（13，-$\frac{75}{4}$）；
（3）如图3，
∵A（0，4）、B（-2，0）、C（8，0）
∴OA=4，OB=2，OC=8，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OA}{OC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵∠AOB=∠AOC=90°，
∴△AOB∽△COA，
∴∠BAO=∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BAO+∠OAC=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心就是斜边AB的中点E，
∵BC=10，
∴BC的中点E的坐标为（3，0），
即平移后的解析式经过E（3，0），
∴相当于把原抛物线向右平移5个单位，
∴平移后的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x-3-5）²+$\frac{25}{4}$=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+4x-$\frac{39}{4}$．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了抛物线与两坐标轴交点的坐标、平移的原则、利用配方法求顶点坐标等知识，分别令x=0和y=0代入解析式可求得抛物线与y轴、x轴的交点坐标，熟记平移的原则：上→加，下→减，左→加，右→减；本题也可以看作是抛物线与x轴的交点向右平移了5个单位，则平移后与x轴的交点分别是（3，0）和（13，0），二次项系数不变，则解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x-3）（x-13），化成一般式即可．