Question

【题目】关于x的二次函数y1＝x2+kx+k﹣1（k为常数）

（1）对任意实数k，函数图象与x轴都有交点

（2）若当x≥75时，函数y的值都随x的增大而增大，求满足条件的最小整数k的值

（3）K取不同的值时，函数抛物线的顶点位置也会变化，但会在某一函数图象上，求该函数图象的解析式

（4）若当自变量x满足0≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为10，求此时k的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）﹣150；（3）y＝﹣x2﹣2x﹣1；（4）11．

【解析】

（1）计算△，根据△的值进行判断；

（2）根据二次函数的增减性即可判断；

（3）得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=-x2-2x-1，即可判断；

（4）函数配方后得y=x2+kx+k-1=，根据对称轴的位置分三种情况进行讨论可得结论.

解：（1）∵△＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，

∴对任意实数k，函数图象与x轴都有交点；

（2）∵a＝1＞0，抛物线的对称轴x，

∴在对称轴的右侧函数y的值都随x的增大而增大，

即当x时，函数y的值都随x的增大而增大，

∵x≥75时，函数y的值都随x的增大而增大，

∴75，k≥﹣150，

∴k的最小整数是﹣150，

∴满足条件的最小整数k的值是﹣150；

（3）∵y＝x2+kx+k﹣1＝（x）2k﹣1，

∴抛物线的顶点为（，k﹣1），

∴，

消去k得，y＝﹣x2﹣2x﹣1，

由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y＝﹣x2﹣2x﹣1，

即抛物线的顶点在二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣1的图象上；

（4）∵y＝x2+kx+k﹣1＝（x）2k﹣1，

∴抛物线的顶点为（，k﹣1），

又∵0≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为10，

①当0时，即k≤0，

此时x＝0时，y取得最小值是10，

则有10＝k﹣1，

k＝11．

②当3时，即k≤﹣6，

此时x＝3时，y取得最小值是10，

则有10＝32+3k+k﹣1，

k，不符合题意；

③当03时，即﹣6＜k＜0，

此时x时，y取得最小值是10，

即k﹣1＝10，

此方程无实根，

综上所述，k的值是11．