Question

【题目】阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， = = ，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．
解：在△ABC中，∵ = ∴b= = = =3 ．
理解应用：
如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．

（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；
（2）求乙船每小时航行多少海里？

Answer 1

【答案】
（1）

解：△A1A2B2是等边三角形，理由如下：

连结A1B2．

∵甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，

∴A1A2=30 × =10 ，

又∵A2B2=10 ，∠A1A2B2=60°，

∴△A1A2B2是等边三角形；

（2）

解：过点B作B1N∥A1A2，如图，

∵B1N∥A1A2，

∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，

∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．

∵△A1A2B2是等边三角形，

∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10 ，

∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．

在△B1A1B2中，

∵A1B2=10 ，∠B1A1B2=45°，∠A1B1B2=60°，

由阅读材料可知， = ，

解得B1B2= = ，

所以乙船每小时航行： ÷ =20 海里．

【解析】（1）先根据路程=速度×时间求出A1A2=30 × =10 ，又A2B2=10 ，∠A1A2B2=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△A1A2B2是等边三角形；（2）先由平行线的性质及方向角的定义求出∠A1B1B2=75°﹣15°=60°，由等边三角形的性质得出∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10 ，那么∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．然后在△B1A1B2中，根据阅读材料可知， = ，求出B1B2的距离，再由时间求出乙船航行的速度．