Question

如图，△ACF内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠ACE=∠AFC；
（2）若CD=BE=8，求sin∠AFC的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴=，
∴∠ACE=∠AFC；

（2）解：连接OC，
设圆的半径为r，
∵CD=BE=8，
∴CE=4，OE=8-r，
∴在直角三角形OCE中，
r²-（8-r）²=16，
∴r=5，
∴AE=2，
∴AC=2，
∴sin∠AFC=sin∠ACE===．
分析：（1）由垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出∠ACE=∠AFC；
（2）连接OC，设圆的半径为r，在直角三角形OCE中，由勾股定理得出r，由于∠ACE=∠AFC；可在直角三角形ACE中求得答案．
点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的定义，是基础知识要熟练掌握．