Question

（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA²+PB²=PC²，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

Answer 1

分析：（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ²+QC²=PC²，由此可证得∠PQC=90°；
（2）由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ²=2PB²，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．

解答：解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ，∠PBQ=60°；
∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA²+PB²=PC²，即PQ²+QC²=PC²；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；

（2）PA²+2PB²=PC²；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ=

2

PB，即PQ²=2PB²；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ²+QC²=PC²，即PA²+2PB²=PC²；
故当PA²+2PB²=PC²时，∠PQC=90°．

点评：此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键．