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(1)如图①所示,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连接PQ.若PA2+PB2=PC2,证明∠PQC=90°;
(2)如图②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ.当PA、PB、PC满足什么条件时,∠PQC=90°?请说明.精英家教网
分析:(1)由旋转的性质可得到的条件是:①BP=BQ、PA=QC,②∠ABP=∠CBQ;
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°,联立BP=BQ,即可得到△BPQ是等边三角形的结论,则BP=PQ;将等量线段代换后,即可得出PQ2+QC2=PC2,由此可证得∠PQC=90°;
(2)由(1)的解题思路知:△PBQ是等腰Rt△,则PQ2=2PB2,其余过程同(1),只不过所得结论稍有不同.
解答:解:(1)证明:由旋转的性质知:BP=BQ、PA=QC,∠ABP=∠CBQ,∠PBQ=60°;
∴△BPQ是等边三角形;
∴BP=PQ;
∵PA2+PB2=PC2,即PQ2+QC2=PC2
∴△PQC是直角三角形,且∠PQC=90°;

(2)PA2+2PB2=PC2;理由如下:
同(1)可得:△PBQ是等腰直角三角形,则PQ=
2
PB,即PQ2=2PB2
由旋转的性质知:PA=QC;
在△PQC中,若∠PQC=90°,则PQ2+QC2=PC2,即PA2+2PB2=PC2
故当PA2+2PB2=PC2时,∠PQC=90°.
点评:此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质,旋转的性质,直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识,能够正确的判断出△BPQ的形状,从而得到BP、PQ的数量关系,是解答此题的关键.
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24、(1)如图,在图1中,互不重叠的三角形共有3个,在图2中,互不重叠的三角形共有5个,在图3中,互不重叠的三角形共有7个,…,则在第n个图形中,互不重叠的三角形共有
2n+1
个.(用含n的代数式表示)

(2)若在如图4所示的n边形中,P是A1An边上的点,分别连接PA2、PA3、PA4…PAn-1,得到n-1个互不重叠的三角形.

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14、根据如图2所示的(1),(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是
3n(n+1)

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AC
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(3)图2所示,将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,当EF=
5
6
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小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛.
(1)小强把白球放在如图1所示的位置,想通过击打白球撞击黑球,使黑球撞击AC边后反弹进F洞.想一想,小强这样击打,黑球能进F洞吗?请用画图的方法验证你的判断,并说明理由.
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