Question

1．如图所示，AB、CD相交于点O，∠A=48°，∠D=46°．
（1）若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
（2）若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出∠OBD=∠ACD-2°，由平分线的定义可得出∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ACD-1°、∠OCG=$\frac{1}{2}$∠ACO，再结合三角形内角和定理即可得出∠BEC=∠D-1°，代入∠D度数即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出∠DCM=90°-$\frac{1}{2}$∠ACD，根据三角形外角性质结合（1）中∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ACD-1°即可得出∠MFC=∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°，再根据三角形内角和定理即可得出∠BMC=91°-∠D，代入∠D度数即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠D+∠OBD+∠BOD=180°，∠A+∠ACO+∠AOC=180°，∠BOD=∠AOC，
∴∠D+∠OBD=∠A+∠ACO，
∵∠A=48°，∠D=46°，
∴∠OBD=∠ACD-2°．
∵BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ACD-1°，∠OCG=$\frac{1}{2}$∠ACO．
∵∠D+∠DBF+∠BFD=180°=∠BEC+∠OCG+∠CFE，∠BFD=∠OCG，
∴∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°=∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BEC=∠D-1°=45°．
（2）∵∠ACD+∠DCH=180°，CM平分∠DCH交直线BF于M，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCH=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACD）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠MFC=∠D+∠DBF=∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°，∠MFC+∠DCM+∠BMC=180°，
∴∠BMC=180°-∠MFC-∠DCM=180°-（∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°）-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACD）=91°-∠D=45°．

点评 本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出∠BEC=∠D-1°；（2）根据三角形内角和定理找出∠BMC=91°-∠D．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．