Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC，CB∥OA，且点A在x轴正半轴上．已知C（2，4），BC=4．
（1）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；
（2）经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点（与原点O不重合），使得P点到两坐标轴的距离相等？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据C（2，4），BC=4且BC∥OA，能得出B的坐标，设抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0），把O、B、C的坐标代入抛物线的解析式得出一个三元一次方程组，求出方程组的解，即求出a、b、c的值，代入解析式即可；
（2）根据题意，设P（a，a）或P（a，-a）（a≠0），分别把（a，a）和（a，-a）代入（1）求出的抛物线即可求出a的值，即得出答案．

解答：解：（1）∵C（2，4），BC=4且BC∥OA，
∴B（6，4），
设抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0）
将O（0，0），C（2，4），B（6，4）代入得

c=0 4a+2b+c=4

且

4a+2b+c=4 36a+6b+c=4

，
解得：

a=- 1 3 b= 8 3 c=0

，
∴y=-

1

3

x2+

8

3

x，
∴顶点(4，

16

3

)对称轴：直线x=4，
答：过O、C、B三点的抛物线解析式是y=-

1

3

x2+

8

3

x，
顶点坐标是(4，

16

3

)，对称轴是直线x=4．

（2）解：根据题意，设P（a，a）或P（a，-a）（a≠0），
将P（a，a）代入抛物线得-

1

3

a2+

8

3

a=a解得a₁=5，a₂=0（舍），
将P（a，-a）代入抛物线得-

1

3

a2+

8

3

a=-a解得a₁=11，a₂=0（舍），
∴符合条件的点p（5，5）和p（11，-11），
答：存在，P点坐标是（5，5）和（11，-11）．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，解三元一次方程组，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目．