Question

在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆与x轴相切，求此圆的直径；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点间的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的对称轴，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）根据圆和抛物线的对称性可知，以MN为直径的圆的圆心必在抛物线的对称轴上，因此可用圆的半径r表示出M，N点的坐标，然后将M或N点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出半径的长，也就能求出圆的直径了．
（3）本题的关键是判断P点的位置，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，那么连接BC，BC与抛物线对称轴的交点就是P点，可先求出直线AC的解析式，然后联立抛物线的对称轴解析式即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：
y=a（x-1）²+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：

a(3-1)2+c=0 a(0-1)2+c=-3

．
解得a=1，c=-4
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3．

（2）设圆的半径为r，依题意有M（1-r，r），N（1+r，r）
把M的坐标代入y=x²-2x-3
整理，得r²-r-4=0，
解得r1=

1+ 17

2

，

1- 17

2

（舍去）
∴所求圆的直径为1+

17

．

（3）存在．
∵由对称性可知，A点的坐标为（-1，0）
∵C点坐标为（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-3x-3（11分）
∵P点在对称轴上，
设P点坐标为（1，y）
代入y=-3x-3，
求得P点坐标为（1，-6）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数及圆的对称性等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．