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如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1)。已知AM=BC。
(1)求二次函数的解析式;
(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD,如图1所示,试求的值;
②若l为满足条件的任意直线。如图2所示,①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。

解:(1)∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B(-3,0),M(0,-1),
 ,解得
∴二次函数的解析式为:
(2)证明:在中,令y=0,得,解得x1=-3,x2=2。
∴C(2,0),∴BC=5。
令x=0,得y=-1,∴M(0,-1),OM=1。
又AM=BC,∴OA=AM-OM=4。∴A(0,4)。
设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,
,解得x1=5,x2=-6(位于第二象限,舍去)。
∴D点坐标为(5,4)。∴AD=BC=5。
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为:y=kx+b,∵B(-3,0),D(5,4),
,解得:
∴直线BD解析式为:
(3)在Rt△AOB中,
又AD=BC=5,∴?ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD,如图1所示,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴
∵BA=BC=5,∴BP=BQ=10。

②若l为满足条件的任意直线,如图2所示,此时①中的结论依然成立,理由如下:
∵AD∥BC,CD∥AB,∴△PAD∽△DCQ。∴
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
 

解析

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如图1,在直角坐标系中,反比例函数y=
kx
(k>0)
的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,且点C坐标为(4,3),将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上.
(1)求k的值;
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(-1,3)
(-1,3)
,点E的坐标为
(-3,2)
(-3,2)

(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒
5
个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.
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12
,BA=2.把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中,使点O与原点重合,点A落在x轴正半轴上.求点B的坐标.

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a-b
+
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a+12
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(1)求证:∠OAB=∠OBA.
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(2)求出三角形ABC的面积.

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