如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1)。已知AM=BC。
(1)求二次函数的解析式;
(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD,如图1所示,试求的值;
②若l为满足条件的任意直线。如图2所示,①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。
解:(1)∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B(-3,0),M(0,-1),
∴ ,解得。
∴二次函数的解析式为:。
(2)证明:在中,令y=0,得,解得x1=-3,x2=2。
∴C(2,0),∴BC=5。
令x=0,得y=-1,∴M(0,-1),OM=1。
又AM=BC,∴OA=AM-OM=4。∴A(0,4)。
设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,
则,解得x1=5,x2=-6(位于第二象限,舍去)。
∴D点坐标为(5,4)。∴AD=BC=5。
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为:y=kx+b,∵B(-3,0),D(5,4),
∴ ,解得:。
∴直线BD解析式为:。
(3)在Rt△AOB中,,
又AD=BC=5,∴?ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD,如图1所示,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。
∵BA=BC=5,∴BP=BQ=10。
∴。
②若l为满足条件的任意直线,如图2所示,此时①中的结论依然成立,理由如下:
∵AD∥BC,CD∥AB,∴△PAD∽△DCQ。∴。
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴
。
解析
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k | x |
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5 |
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12 |
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a+12 |
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