Question

（2013•上海模拟）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是

AB

上的一个动点（不与点A、B重合），PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D，点E、F、G、H分别是线段OD、PD、PC、OC的中点，EF与DG相交于点M，HG与EC相交于点N，联结MN．如果设OC=x，MN=y，那么y关于x的函数解析式及函数定义域为

y=-

1

3

x²+

4

9

（o＜x＜1）

．

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，连接OP交MN于R，交MG于Z，交CE于Q，根据三角形中位线求出EF∥OP∥GH，求出DM=MZ=ZG，EQ=QN=CN，求出E的坐标，即可求出M、N的坐标，根据勾股定理求出MN，即可得出答案．

解答：解：
如图，建立平面直角坐标系，连接OP交MN于R，交MG于Z，交CE于Q，
∵点E、F、G、H分别是线段OD、PD、PC、OC的中点，
∴EF∥OP，GH∥OP，
∴DM=MZ，GZ=MZ，
∴DM=MZ=ZG，
同理EQ=QN=CN，
在Rt△OPC中，OC=x，OP=1，由勾股定理得：OD=CP=

1-x2

，
∴E的坐标是（0，

1

2

1-x2

），
∵CN=NQ=EQ，OC=x，
∴N的横坐标是

2

3

OC=

2

3

x，N的纵坐标是

1

3

OE=

1

6

1-x2

，M的横坐标是x-

2

3

x=

1

3

x，纵坐标是OE-

1

6

1-x2

=

5

6

1-x2

即N（

2

3

x，

1

6

1-x2

），M（

1

3

x，

5

6

1-x2

），
由勾股定理得：MN=（

2

3

x-

1

3

x）²+[

1

6

1-x2

-

5

6

1-x2

）²，
即y=-

1

3

x²+

4

9

，x的范围是：O＜x＜1．
故答案为：y=-

1

3

x²+

4

9

（0＜x＜1）．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．