Question

如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E点．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）连接OD若要证明DE为⊙O的切线，只要证明∠DOE=90°即可；
（2）过点O作OF⊥AP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OC=OD，
∴∠1=∠3．
∵CD平分∠PCO，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∵DE⊥AP，
∴∠2+∠EDC=90°．
∴∠3+∠EDC=90°．
即∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）过点O作OF⊥AP于F．
由垂径定理得，AF=CF．
∵AC=8，
∴AF=4．
∵OD⊥DE，DE⊥AP，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OF=DE．
∵DE=3，
∴OF=3．
在Rt△AOF中，OA²=OF²+AF²=4²+3²=25．
∴OA=5．
∴AB=2OA=10．

点评：本题考查了圆的切线的判定和性质、垂径定理的运用、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题．