分析 (1)先证明△BDF≌△ADC,得出DF=DC,再证明FG=AF,即可得出结论;
(2)过点B作BH⊥GF于点H,由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形.得出AD=BD,AF=FG,再证明△ADC≌△BDF,得出DC=DF,即可得出结论;
(3)作NP⊥AG于P,由四边形DFHB是矩形,△PGN是等腰直角三角形,得出BH=DF=6,PG=PN,设PG=PN=x,则NG=$\sqrt{2}$x,再证出∠PBN=∠MBH,得出tan∠PBN=tan∠MBH=$\frac{1}{3}$,得BP=3PN=3x,列出方程x+3x=6$\sqrt{2}$,解方程即可得出结果.
解答 解:(1)FG+DC=BD;理由:
∵∠ADB=90°,∠ABD=45°,
∴∠ADC=90°,∠BAD=45°,
∴AD=BD,∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,
在△BDF和△ADC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC=90°,}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\\{∠DBF=∠DAC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△BDF≌△ADC(ASA),
∴DF=DC,
∵FG∥BD,
∴∠AFG=∠ADB=90°,∠AGF=∠ABD=45°,
∴FG=AF,
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD;
(2)FG=DC+BD;理由如下:
过点B作BH⊥GF于点H,如图2所示:
则四边形DFHB是矩形,
∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,FG∥BD,
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形,
∴AD=BD,AF=FG,
∵AC⊥BF,
∴∠CEB=90°,
∴∠C+∠CBE=90°,
∵∠C+∠DAC=90°,∠CBE=∠DBF,
∴∠DAC=∠DBF,∠ADB=90°,
在△ADC和△BDF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BDF=90°}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\\{∠DAC=∠DBF}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ADC≌△BDF(ASA),
∴DC=DF,
∴AF=DF+AD=DC+BD,
∴FG=DC+BD;
(3)作NP⊥AG于P,如图3所示:
则四边形DFHB是矩形,△PGN是等腰直角三角形,
∴BH=DF=6,PG=PN,
设PG=PN=x,则NG=$\sqrt{2}$x,
∵∠G=45°,
∴GH=BH=6,BG=6$\sqrt{2}$,∠GBH=45°,
∵∠MBN=45°,
∴∠PBN=∠MBH,
∴tan∠PBN=tan∠MBH=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$,
∴BP=3PN=3x,
∴PG+BP=x+3x=4x=6$\sqrt{2}$,
解得:x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴NG=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3.
点评 本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明等腰直角三角形和运用三角函数才能得出结论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 20° | B. | 30° | C. | 35° | D. | 40° |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ | C. | $2\sqrt{6}$ | D. | 4 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 6 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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