Question

6．已知抛物线y=ax²+bx-3a的对称轴为直线x=1，且经过点（0，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若抛物线与直线y=-$\frac{1}{m}$（x-3）（m≠0）两交点的横坐标为x₁，x₂，n=x₁+x₂-2，P（1，y₀），Q（x₀，$\frac{1}{2}$）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线PQ的解析式；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，C是x轴下方抛物线上的一点，∠ACB=45°，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的对称轴的公式，和图象上点满足抛物线解析式，列方程求解即可；
（2）利用求两个函数图象的交点坐标是联立方程组求解，根据n=x₁+x₂-2求出m，n的函数关系式，再由点P，Q的坐标即可；
（3）根据△ABC的面积的两种求法，建立方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3a经过点（0，3），
∴-3a=3，
∴a=-1
∵抛物线y=ax²+bx-3a的对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=2，
即：a=-1，b=2；
（2）由（1）有，a=-1，b=1，
∴抛物线y=-x²+2x+3，
∵抛物线与直线y=-$\frac{1}{m}$（x-3）（m≠0）两交点的横坐标为x₁，x₂，
∴-x²+2x+3=-$\frac{1}{m}$（x-3），
∴x₁=3，x₂=$\frac{1}{m}$-1，
∵n=x₁+x₂-2，
∴n=3+$\frac{1}{m}$-1-2=$\frac{1}{m}$，
∵P（1，y₀），Q（x₀，$\frac{1}{2}$）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，
∴y₀=1，x₀=2，
∴P（1，1），Q（2，$\frac{1}{2}$），
∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；
（3）∵抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，
∴A（-1，0），B（3，0），
设点C（c，d），
∴AB=4，AC=$\sqrt{（c+1）^{2}+{d}^{2}}$，BC=$\sqrt{（c-3）^{2}+{d}^{2}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×|yc|=$\frac{1}{2}$×4×|d|=2|d|，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BCsin∠ACB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（c+1）^{2}+{d}^{2}}$×$\sqrt{（c-3）^{2}+{d}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2|d|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（c+1）^{2}+{d}^{2}}$×$\sqrt{（c-3）^{2}+{d}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$①，
∵点C在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴d=-c²+2c+3②
①②联立解得，d=0（舍）或d=-3，
∴c=1±$\sqrt{7}$，
∴C（1-$\sqrt{7}$，-3）或C（1+$\sqrt{7}$，-3）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴的公式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算方法，求图象的交点坐标是解本题的关键．