Question

如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．
（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；
（2）设∠BPC=α，若sinα是方程5x²+7x-6=0的根，求cosα的值；
（3）在（2）的条件下，求弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆中弧相等的性质得出∠A=∠D，∠B=∠C，从而得出三角形相似；
（2）解一元二次方程，然后根据三角函数的性质即可得出答案；
（3）根据余弦及三角形相似比例关系即可得出答案．

解答：解：（1）相似．
证明：∵

.

BC

=

.

BC

，
∴∠A=∠D，
∵

.

AD

=

.

AD

，
∴∠B=∠C，
∴△APB∽△DPC；

（2）5x²+7x-6=0，
（5x-3）（x+2）=0，
x1=

3

5

，x2=-2(舍去)，
∴sinα=

3

5

，
cosα=

4

5

；

（3）∵AB为直径，
∴∠BCP=90°，
∵cosα=

4

5

，
∴

PC

BP

=

4

5

，
∵△APB∽△DPC，
∴

PC

BP

=

CD

AB

，

4

5

=

CD

10

，
∴CD=8．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质、解一元二次方程，三角函数等，把要求的线段的比转化到一个直角三角形中的两条直角边的比，难度适中．