Question

如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．   
（1）求证：AE=CG；   
（2）若CD=4，CN=5，求AM的长．

Answer 1

分析：（1）先证明∠ADE=∠CDG，再利用边角边定理即可证明△ADE与△CDG全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可以得到∠DAE=∠DCG，从而证出△AMN是直角三角形，利用勾股定理求出DN的长度，再求出AN，然后再利用相似三角形对应边成比例列式即可求出AM的长．

解答：（1）证明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE与△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：在Rt△CDN中，CD=4，CN=5，
由勾股定理得，DN=

CN2-CD2

=

52-42

=3，
∴AN=4-3=1，
∵△ADE≌△CDG（已证），
∴∠DAE=∠DCG，
∵∠DCG+∠CND=180°-90°=90°，
∴∠DAE+∠CND=90°，
∴△AMN是直角三角形，
在△CDN与△AMN中，

∠DAE=∠DCG ∠CND=∠ANM(对顶角相等)

，
∴△CDN∽△AMN，
∴

AM

CD

=

AN

CN

，
即

AM

4

=

1

5

，
解得AM=

4

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的每条边都相等，四个角都是直角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，要认真分析图形，从条件与结论的联系入手全面考虑．