Question

1．当a是什么整数时，ax²-8x+7=0与x²-4ax+4a²-4a-5=0的根都是整数？

Answer 1

分析 这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于a不等式，从而求得a的范围，再根据a是整数，即可得到a的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定a的值．

解答 解：∵关于x的一元二次方程ax²-8x+7=0与x²-4ax+4a²-4a-5=0有解，
则a≠0，
∴△≥0
ax²-8x+7=0，
∴△=64-28a≥0，即a≤$\frac{16}{7}$；
x²-4ax+4a²-4a-5=0，
△=16a²-16a²+16a+20≥0，
∴4a+5≥0，a≥-$\frac{5}{4}$；
∴-$\frac{5}{4}$≤a≤$\frac{16}{7}$，而a是整数，
∴a=-1，a=0（舍去），a=1，a=2，
①当a=-1时，方程ax²-8x+7=0为x²-8x+7=0，方程的解是x₁=7，x₂=1；
x²-4ax+4a²-4a-5=0即x²+4x+3=0，方程的解是x₁=-3，x₂=-1；
②当a=1时，方程ax²-8x+7=0为x²-8x+7=0，方程的解是x₁=7，x₂=1；
x²-4ax+4a²-4a-5=0即x²-4x-5=0，方程的解是x₁=-1，x₂=5；
③当a=2时，方程ax²-8x+7=0为2x²-8x+7=0，此时方程的解不为整数，故a=2舍去；
综合上述：当a是-1或1时，ax²-8x+7=0与x²-4ax+4a²-4a-5=0的根都是整数．

点评 解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定a的范围是解决本题的关键．