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    求正五边形的边长和对角线的比值．

     

    答案：
    解析：

    		如图，设ABCDE是正五边形，对角线AC、BD交于F点．

    ∵　∠BCD=∠ABC==108°，

    又CB=CD，∴　∠1=∠2==36°．

    同理可求∠3=∠4=36°．∴　∠DFC=∠1+∠3=72°，∠ACD=∠BCD-∠3=108°-36°=72°，∴　DF=DC=BC．

    ∵　△BCD∽△BFC，∴　，即BC2=BD·BF．

    设正五边形的边长为a，对角线长为l，

    ∴　a2=l(l-a)．∴　a2+al-l2=0．

    ∴　a=l(不合题意，舍去)，即=．

     


    提示：

    		(1)本例是正五边形边与对角线的一种特殊关系，比值约为0.618，正好是黄金分割数．

    (2)构造形如此例中的△BCD，使∠B=∠D=36°，作∠FCB=36°，则F是BD的黄金分割点，所以我们可用此法把已知线段黄金分割．

    (3)要习惯用多边形内角和的公式求内角及有关的角．

    (4)本例还可以用以下方法证明△BCD∽△BFC．

    作出正五边形的外接圆．

    ∵　A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，

    ∴　∠2=∠3，∠ACD=∠DFC=2∠3．

    ∴　BC=CD=DF．∴　△BCF∽△BDC．

     


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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年江苏省无锡市惠山北片九年级上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。）

    （1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；

    图①

    （2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：

    图②

    问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；

    问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是。

    （3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。

    图③

    ②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。

    图④

    （4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

     

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