Question

【题目】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）CD= ，AD= ；

（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时；

①求y与x的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）

②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值

（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②当x＝＜5时，最大＝；（3）存在，

【解析】

（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；

（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式；

②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．

（3）先求得△ABC的面积的，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3，列式即可求解．

解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA＝∠ACB＝90°，

又∠CAD＝∠CAD，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB，

∴，即，

∴CD＝，AD＝．

（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：

如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时，

∵EF⊥AB，

∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即，

∵AC＝3，BC＝4，AE＝x，

∴，EF＝x，

S△AEF＝y＝．

如图B：当AD＜x≤AB，即＜x≤5时，

∵EF⊥AB，

∴Rt△BEF∽Rt△BCA，

∴，

∵AE＝x，△AEF的面积为y，，

∴EF＝，

．

②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时，

，

当x＝AD，即x＝时，y最大＝．

如图B：当AD＜x≤BD，即＜x≤5时，

，y最大＝，此时x＝2.5＜5，故成立．

故y最大＝．

（3）存在．

假设存在，当0＜x≤5时，

∵△ABC的周长为3+4+5＝12，

∴AE+AF＝6，

∴AF＝6﹣x，∴0＜6﹣x＜3，

∴3＜x＜6，

∴3＜x≤5，

作FG⊥AB于点G，

由△AFG∽△ACD，

∴，

∴，

即FG＝（6﹣x），

∴S△AEF＝，

∴3＝，

解得：x1＝，x2＝，

∵3＜x≤5，

∴x1＝（符合题意），x2＝（不合题意，舍去），

故存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分，此时x＝．