Question

已知点P₁（x₁，1921），P₂（x₂，1921）是在二次函数y=ax²+bx+2010的图象上，求二次函数当x=x₁+x₂的值为

2010

；

已知x=

5- 5

，y=

5+ 5

，则x6+y6=

400

．

Answer 1

分析：①抛物线上，纵坐标相等的两点是对称点，其对称轴是两点横坐标的平均数，再与对称轴的公式比较可求x的值，将x的值代入函数解析式可求y的值；
②根据完全立法和公式将所求的代数式转化为x⁶+y⁶=（x²+y²）³-3x²y²（x²+y²）；然后将已知条件代入并求值即可．

解答：解：①∵点P₁、P₂的纵坐标都是1921，
∴P₁、P₂是抛物线上关于对称轴对称的两点，
此时，对称轴-

b

2a

=

x1+x2

2

，即x=-

b

a

，
把x=-

b

a

代入二次函数y=ax²+bx+2010中，得
y=2010；
②∵x=

5- 5

，y=

5+ 5

，
∴x⁶+y⁶
=（x²+y²）³-3x²y²（x²+y²）
=（5-

5

+5+

5

）³-3×（5-

5

）（5+

5

）（5-

5

+5+

5

）
=10³-3×20×10
=400；
故答案是：2010；400．

点评：此题主要考查了根与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．利用立方公式进行根式的计算时，首先会把根号里面的代数式变为立方公式的形式，然后根据立方根的性质去掉根号即可解决问题．其中完全立方公式：（a±b）³=a³±3a²b+3ab²±b³．