Question

【题目】A、B是数轴上两点,点A对应的数是-2，点B对应的数是2. △ABC是等边三角形，D是AB中点. 点M在AC边上，且AM=3CM.

（1）求CD长.

（2）点P是CD上的动点，确定点P使得PM+PA的值最小，并求出PM+PA的最小值.

（3）过点M的直线与数轴交于点Q，且QM.点Q对应的数是t,结合图形直接写出t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）；（3） 或

【解析】

（1）根据等边三角形的性质及勾股定理进行计算即可；

（2）根据轴对称确定点P，然后取AC的中点为E，连接BE，再利用等边三角形的性质，线段之间的关系及勾股定理进行计算即可；

（3）画出图形，先确定QM=时，点Q对应的数，最后再根据得到的数写出范围.

解：（1）∵△ABC是等边三角形，D是AB中点，

∴CD⊥AB，AD=DB，

∵点A、点B对应的数分别是－2和2，

∴AB=4，

∴AC=4，AD=2，

∴在Rt△ACD中，CD=；

（2）连接MB，MB与CD的交点即为所求的P点.

设AC的中点为E，连结BE，

∵△ABC是等边三角形，

∴BE⊥AC，CE=2，

∵AM=3CM，

∴CM=1，AM=3，

∴EM=1，

由三角形面积相等，底相等可得：BE=CD=，

∴在Rt△BEM中，BM=，

即PM+PA的最小值为；

（3）如图，QM=，过点M作ME⊥AB于点E，

∵CD⊥AB，

∴ME∥CD，

∴△AEM∽△ADC，

∴，

又∵AD=2，CD=，

∴AE=，ME=，

∴DE=，

∵点Q对应的数是t，

∴QE=，

∴在Rt△MEQ中，，

解得t=4或－5，

∵QM，

∴或.