Question

（1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
（1）求证：BN=EN；
（2）求证：4DH•HC=AB•BF；
（3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）首先连接OF，易证得△BFN是等腰三角形，且BN=FN，又由切线长定理，证得FN=EN，即可证得BN=EN；
（2）首先过点O作OK⊥GH于点K，由垂径定理可证得DG=HC，又由切割线定理，证得AD²=DH•DG，BE²=AB•BF，然后由BC=3AD，可得BE=2AD，继而证得4DH•HC=AB•BF；
（3）首先连接OG，由tan∠ABC=2，可设BE=2a，则AE=4a，继而求得EC与CG的长，根据正切函数与余切函数函数的定义，即可求得tanα、cotα的值，又由根与系数的关系，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OF，
∵FN是⊙O的切线，
∴OF⊥FN，
即∠OFN=90°，
∴∠BFN+∠AFO=90°，
∵AE是梯形的高，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B=90°，
∵OA=OF，
∴∠AFO=∠BAE，
∴∠B=∠BFN，
∴BN=FN，
∵AE为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴FN=EN，
BN=EN；

（2）过点O作OK⊥GH于点K，
∴KH=KG，
∵AE为⊙O的直径，且AE是梯形的高，
∴AD是⊙O得切线，且AD∥OK∥EC，
∴AD²=DH•DG，DK=CK，
∴DG=HC，
∴AD²=DH•HC；
∵BC是⊙O的切线，
∴BE²=AB•BF，
∵在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，
∴四边形ADCE是矩形，
∴EC=AD，
∵BC=3AD，
∴BE=2AD，
∴4AD²=AB•BF，
∴4DH•HC=AB•BF；

（3）连接OG，
∵在Rt△ABE中，tan∠ABC=

AE

BE

=2，
∴设BE=2a，则AE=4a，
∴CK=OG=

1

2

AE=2a，OK=EC=

1

2

BE=a，
在Rt△OKG中，KG=

OG2-OK2

=

3

a，
∴CG=CK-KG=（2-

3

）a，
在Rt△ECG中，tanα=

CG

EC

=2-

3

，cotα=

EC

CG

=2+

3

，
∴tanα+cotα=4，tanα•cotα=1，
∴以tanα、cotα为根的一元二次方程为：x²-4x+1=0．

点评：此题考查了切线的判定与性质、切割线定理、切线长定理、垂径定理、直角梯形的性质、勾股定理、根与系数的关系以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．