Question

19．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6，过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q，当四边形PQDE为等腰梯形时，求四边形ABPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD，AB=BC=AD=5，则利用勾股定理开始计算出OB=4，所以BD=2OB=8，再证明四边形ACED为平行四边形得到CE=AD=5，DE=AC=6，然后计算△BDE的周长；
（2）先证明△OBP≌△ODQ得到OP=OQ，由四边形PQDE为等腰梯形得PQ=DE，则AC=DQ，于是可判断四边形APCQ为矩形，所以AP⊥BC，利用面积法可计算出AP=$\frac{24}{5}$，然后根据梯形的面积公式可得到四边形ABPQ的面积=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•AP=$\frac{1}{2}$（DQ+AQ）•AP=12．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD，AB=BC=AD=5，
在Rt△AOB中，OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BD=2OB=8，
∵DE∥AC，
而AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴CE=AD=5，DE=AC=6，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=8+6+5+5=24；
（2）证明：∵BP∥DQ，
∴∠OBP=∠ODQ，
在△OBP和△ODQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠DOQ}\\{OB=OD}\\{∠OBP=∠ODQ}\end{array}\right.$，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ，
∵四边形PQDE为等腰梯形，
∴PQ=DE，
而DE=AC，
∴AC=DQ，
而OA=OC，OP=OQ，
∴四边形APCQ为矩形，
∴∠APC=90°，
∴AP⊥BC，
∵$\frac{1}{2}$AP•BC=$\frac{1}{2}$BO•AC，
∴AP=$\frac{4×6}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴四边形ABPQ的面积=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•AP=$\frac{1}{2}$（DQ+AQ）•AP=$\frac{1}{2}$•5•$\frac{24}{5}$=12．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．也考查了等腰梯形的性质和矩形的判定与性质．