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19.在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AC=6,过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求△BDE的周长;
(2)点P为线段BC上的点,连接PO并延长交AD于点Q,当四边形PQDE为等腰梯形时,求四边形ABPQ的面积.

分析 (1)根据菱形的性质得AC⊥BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3,OB=OD,AB=BC=AD=5,则利用勾股定理开始计算出OB=4,所以BD=2OB=8,再证明四边形ACED为平行四边形得到CE=AD=5,DE=AC=6,然后计算△BDE的周长;
(2)先证明△OBP≌△ODQ得到OP=OQ,由四边形PQDE为等腰梯形得PQ=DE,则AC=DQ,于是可判断四边形APCQ为矩形,所以AP⊥BC,利用面积法可计算出AP=$\frac{24}{5}$,然后根据梯形的面积公式可得到四边形ABPQ的面积=$\frac{1}{2}$(BP+AQ)•AP=$\frac{1}{2}$(DQ+AQ)•AP=12.

解答 解:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3,OB=OD,AB=BC=AD=5,
在Rt△AOB中,OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,
∴BD=2OB=8,
∵DE∥AC,
而AD∥BC,
∴四边形ACED为平行四边形,
∴CE=AD=5,DE=AC=6,
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=8+6+5+5=24;
(2)证明:∵BP∥DQ,
∴∠OBP=∠ODQ,
在△OBP和△ODQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠DOQ}\\{OB=OD}\\{∠OBP=∠ODQ}\end{array}\right.$,
∴△OBP≌△ODQ,
∴OP=OQ,
∵四边形PQDE为等腰梯形,
∴PQ=DE,
而DE=AC,
∴AC=DQ,
而OA=OC,OP=OQ,
∴四边形APCQ为矩形,
∴∠APC=90°,
∴AP⊥BC,
∵$\frac{1}{2}$AP•BC=$\frac{1}{2}$BO•AC,
∴AP=$\frac{4×6}{5}$=$\frac{24}{5}$,
∴四边形ABPQ的面积=$\frac{1}{2}$(BP+AQ)•AP=$\frac{1}{2}$(DQ+AQ)•AP=$\frac{1}{2}$•5•$\frac{24}{5}$=12.

点评 本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形的面积等于对角线乘积的一半.也考查了等腰梯形的性质和矩形的判定与性质.

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