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    已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

    （1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；

         ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；

         ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；

    （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；

    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

     

    【答案】

    （1）①2，② ，③（2）①2，②平行四边形，证明见解析

    【解析】解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，

    ∴O′A=OA=2；

    ②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′

    ∵△OO′A△OO′B为等边三角形，

    ∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°

    ∴==；

    ③如图3所示，连接OA，OB，

    ∵OA=OB=AB=2，

    ∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，

    ∴OE=OA•sin60°=．

    （2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，

    过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，

    即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，

    ∵AB∥CD，

    ∴EF垂直平分AB和CD，

    根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF，

    又∵EF=4，

    ∴点O到AB．CD的距离之和d为：

    d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，

    ②如图5，当与不平行时，

    四边形是平行四边形．

    证明如下：

    设O′O″为和所在圆的圆心，

    ∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，

    ∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点

    ∵折叠后的与所在圆外切，

    ∴连心线O′O″必过切点P，

    ∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，

    ∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PM=ON，

    ∴四边形OMPN是平行四边形．

    （1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；

    ②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可；

    ③如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离；

    （2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和；

    ②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．

     

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    （1）①折叠后的
    AB
    所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
         ②如图2，当折叠后的
    AB
    经过圆心为O时，求
    AOB
    的长度；
         ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
    （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的
    AB
    与
    CD
    所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的
    AB
    与
    CD
    所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

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    经过圆心O时，求
    AB
    的长；
    （2）如图3，当弦AB=2时，求折叠后
    AB
    所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
    （3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的
    CD
    与
    AB
    所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的
    CD
    与
    AB
    所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012年初中毕业升学考试（江西卷）数学（带解析） 题型：解答题

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    ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；
    ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
    （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012年江西省南昌市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

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         ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
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    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

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