Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG；
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）①根据正方形性质求出AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，根据全等三角形判定推出即可；②根据全等得出∠GDA=∠CDE，求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可；
（2）分别以G、E为圆心，以DG为半径画弧，两弧交于F，连接GF、EF即可；
（3）推出EF=CK，EF∥CK，根据平行四边形的判定推出即可．

解答：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，
在△GAD和△ECD中

AG=CE ∠GAD=∠ECD AD=DC

∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE=DG；

②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵△GAD≌△ECD，
∴∠GDA=∠CDE，
∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∴DE⊥DG．

（2）解：如图所示：；

（3）四边形CEFK是平行四边形，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ECD=90°，BC=CD，
在△KBC和△ECD中

BC=CD ∠B=∠ECD KB=EC

∴△KBC≌△ECD（SAS），
∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，
∵∠B=90°，
∴∠KCB+∠BKC=90°，
∴∠KCB+∠DEC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°，
∵四边形DGFE是正方形，
∴DE=EF=CK，∠FED=90°=∠EOC，
∴CK∥EF，
∴四边形CEFK是平行四边形．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．